変位電流によってジュール熱は発生するか？

EMANの物理の広江さんの以下のtwitter投稿をみたことによる。

どう答えたらいいものやら難しいです。交流電圧を掛けたときのコンデンサの両極板では電荷が増減しますので、極板間の電束密度Dも変化して、そこには変位電流が存在することになります。それとは別に極板間の電場に…

続きは質問箱へ #Peing #質問箱 https://t.co/RUzIVxCxIL

— 広江 克彦 (@eman1972) September 17, 2021

そのあと筆者が広江さんと話して得た答えも以下のツリーにまとめた。

深夜の白熱した議論で思わぬ収穫がありました。結論をまとめてくださっています。私は誘電体の結晶の欠陥による偶然的な衝突による損失のイメージしか持っていませんでしたが、振動電場に分極が追随できなくなることによってジュール熱が生じて、その大きさが理論化できるということが分かりました。 https://t.co/JtLKxB4B1A

— 広江 克彦 (@eman1972) September 17, 2021

本記事はこのツリーをもう少し詳しく、 余談や他に考えたものも含めてまとめたものである。

ツッコミやコメントは大歓迎。

2023-07-02 誤りがありそうなことに気がついた。時間ができたら直す。

まず変位電流とは電束密度 \(\mathbf{D}\) ¹ の時間偏微分のことであった。

そして \(\mathbf{D}\) の定義は電場を \(\mathbf{E}\) 、物質の分極を \(\mathbf{P}\) として、

\begin{align} \mathbf{D} = \mathbf{E} + \mathbf{P} \end{align}

である。したがって、変位電流は

\begin{align} \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t} \end{align}

と表せる。右辺の分極の時間偏微分のことを分極電流と呼ぶ。²

ジュール熱とは電場が物質系にした単位時間あたりの仕事であり、\(\mathbf{E}\cdot\mathbf{j}\) で与えられる。 この法則は、電磁場から物質にされた仕事は全て熱に変換されてしまうという (ある意味悲しい) 意味をもっている。

エネルギー保存則の立場からこのことをもう少し詳しく見る。 電荷 \(q\) をもつ粒子が速度 \(\mathbf{v}\) で運動しており、それが電磁場から力を受けているとしよう。 電磁場が単位時間あたりにこの荷電粒子に対して行う仕事は

\begin{align} \mathbf{v}\cdot(q\mathbf{E} + q\mathbf{v}\times\mathbf{B}) = q\mathbf{v}\cdot\mathbf{E} \end{align}

である。これを単位体積当たりにして密度に直すと \(\mathbf{j}\cdot\mathbf{E}\) となる。 則ち電磁場は単位体積あたりの電荷に対してこれだけの仕事をするので、その分電磁場のエネルギーが失われていると解釈できる。³ そして、ジュールやレンツはこの失われたエネルギーが導体においては全て熱に変わっていることを発見した。

物質に電流を流し続けるには電場をかけ続ける必要があり、電場を \(0\) にしてしまうと程なくして電流は \(0\) に戻ってしまう。 電場によって物質に与えられたエネルギーは熱という形で散逸してしまうからだ。 これは導体であっても誘電体であっても (そもそも現実には理想的な導体や誘電体は存在しないが) 同じである。 実は、ジュール=レンツの法則は一般の物質に対して成り立つ法則なのだ。

電場と電流密度の間に比例関係が成り立つという法則で、導電率 \(\sigma\) という定数を用いて

\begin{align} \mathbf{E} = \sigma\mathbf{j} \end{align}

と表現される。これが真空中の自由な電荷において成り立たないことは自明だろう。力を受けていれば加速度が生じる。力学の初歩だ。 例えば、真空中で一様電場があるところに自由な電荷が存在すればそれは光速に向かって際限なく加速し続けるだろう。 オームの法則が成立するということは、電場による力を打ち消す力が存在することを意味する。

ここでは抵抗力と呼ぶことにしよう。抵抗力は電荷の速さの増加関数でないとならない。 電場によって電荷は速さを増していくが、それに応じて抵抗力もますため、加速がゆるやかになっていく。 やがて抵抗力と電場のローレンツ力が釣り合う速さになったとき、速さの変化が0となる。 これが巨視的に見たときのオームの法則の意味するところである。

抵抗力とローレンツ力が釣り合うのに要する時間は物質の種類や温度圧力などの種々の条件に依存する。 この時間が考えたい時間変化のスケールより十分に早ければ、 その時間スケールに粗視化した視点においてオームの法則は常に成り立つと考えて良い。

もちろん微視的なモデルを考えればこの描像は、微視的な個々の電荷の運動全体を平均化した結果得られるものとなる。 逆に言うとそのような粗視化を行って、この結論が得られない微視的モデルは正しくないとも言える。

誘電体で閉回路を構成して前節のような静的な起電力を与えても、もちろんオームの法則は成り立たない。 導体ではその外には自由に出られないが、そのなかでは自由に動きまわれる電荷が存在するのだが、 誘電体中にはそのような電荷は存在しないからだ。 しかし、それをもって誘電体中に電流が存在しないなどというのは早計である。 あくまで電流とは電荷の移動であり、誘電体であっても電荷の移動はおこる。 その結果いわゆる分極と呼ばれる現象が生じるのだ。 分極が生じるということは電荷の移動があるということで、つまり電流は生じている。 導体のように自由に動けないだけであって、まったく動けないわけではないのだ。 誘電体に電流が流れないというイメージは誤りである。

さて、分極を生じるということは電荷の移動が生じている。 というか因果関係が逆で、電荷の移動、つまり電流が生じた結果として分極が生じる。 外部から電場が印加されると、物質中の電荷が移動し (電流が生じ) 外部からの電場を打ち消す。 つまり分極とは要するに電流が生じて電荷の移動が終わったあとにできる電荷密度分布が作る電場に負符号をつけたものにほかならない。

誘電体中の電荷密度分布を \(\rho_{b}\) 電流密度分布を \(\mathbf{j}_{b}\) としよう。誘電体中の電荷が保存するとすれば、

\begin{align} \frac{\partial \rho_{b}}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j}_{b} = 0 \end{align}

が成り立つ。これをまず仮定する (これは普通の室温の条件では妥当なはずだ)。

まず電荷密度について考える。 マクスウェル方程式から、 この電荷密度が作る電場 \(\mathbf{E}_b\) は

\begin{align} \epsilon_{0}\nabla\cdot\mathbf{E}_{b} = \rho_{b} \end{align}

を満たす。 ここから分極を、

\begin{align} \mathbf{P} = -\epsilon_{0} \mathbf{E}_{b} \end{align}

と定義する。 誘電体外の電荷密度を \(\rho_0\) とする。 全系の電場 \(\mathbf{E}\) を考え、 それと分極の和をとった新しい場 \(\mathbf{D} = \epsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}\) を定義すると、 真空中のマクスウェル方程式

\begin{align} \epsilon_0\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho_{0} + \rho_{m} \end{align}

から、この場 \(\mathbf{D}\) は、

\begin{align} \nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_{0} \end{align}

を満たす。

次に電流密度について考える。 無限遠で \(\mathbf{j}_{b} = 0\) とすればいわゆる縦成分 \(\mathbf{j}_{b}^{\parallel}\) 横成分 \(\mathbf{j}_{b}^{\perp}\) への分解が可能なことが知られている (Helmholtzの定理)。 つまり、

\begin{align} \mathbf{j}_{b} = \mathbf{j}_{b}^{\parallel} + \mathbf{j}_{b}^{\perp} \end{align}

と表せる。 縦成分の意味は

\begin{align} \nabla\times\mathbf{j}_{b}^{\parallel} &= 0 \end{align}

である。横成分の意味は

\begin{align} \nabla\cdot\mathbf{j}_{b}^{\perp} &= 0 \end{align}

である。

横成分は発散が \(0\) であるので、磁場に対するベクトル・ポテンシャルと同様あるベクトルの回転のみで表せる。 この事実とマクスウェル方程式の形を考えると、こうした発散のない渦電流は電場を発生させず、ただ磁場だけを発生させることがわかる。 電流密度 \(\mathbf{j}_{b}^{\perp}\) が作る磁場を \(\mathbf{B}_{b}\) とすれば 真空中のマクスウェル方程式より、

\begin{align} \nabla\times\mathbf{B}_{b} = \mu_{0}\mathbf{j}_{b} \end{align}

である。 ここから磁化を

\begin{align} \mathbf{M} = \frac{\mathbf{B}_b}{\mu_{0}} \end{align}

と定義する。

また、誘電体中の電荷保存の式とここでの分極 \(\mathbf{P}\) の定義を用いて

\begin{align} \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t} = \mathbf{j}_{b}^{\parallel} \end{align}

がわかる。これを分極電流と呼ぶ。

誘電体外の電流密度を \(j_{0}\) とし、全系の磁場を \(\mathbf{B}\) とすると、 新たな場 \(\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0 - \mathbf{M}\) を定義すれば 真空中のマクスウェル方程式、

\begin{align} \nabla\times\mathbf{B} - \epsilon_0\mu_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \mu_0(j_{0} + j_{b}) \end{align}

より、新たな場 \(\mathbf{H}\) は

\begin{align} \nabla\times\mathbf{H} - \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = j_{0} \end{align}

を満たすことがわかる。

物質中のマクスウェル方程式とは、このように電荷が保存する部分系の作る場を考えることによって導出できるもので、 分極 \(\mathbf{P}\) と 磁化 \(\mathbf{M}\) は物質中の電荷密度、電流密度が作る場を単に言い換えただけに過ぎない。 しかし、物質中の電荷密度や電流密度というのは測るのが難しい量なので、物質外部と内部を分離して方程式を書き、 内部の応答が外部の場をどれくらい打ち消すかというわかりやすい形に定式化したという意味がある。⁵

ここまでみれば、電磁場と分極、磁化との単なる和である \(\mathbf{D}\) と \(\mathbf{H}\) は計算のための補助場にすぎず、 本質的に重要なのは \(\mathbf{E}, \mathbf{B}, \rho, \mathbf{j}\) の4つだということが納得できるのではないだろうか。⁶

物質の分極が外部電場に対して線形に応答すると仮定する。 外部電場としては平面単色波 \(\mathbf{E}(t) = \mathbf{E}_{0}\cos(\omega_{0} t)\) を想定する (ようやく一番最初の問に戻って交流電源が平板コンデンサの間の誘電体に与える電場を考えている)。

物質の磁化 \(\mathbf{M} = 0\) とする。 電場は分極しか誘起できない。

導体であろうと誘電体であろうとジュールの法則は正しかった。 つまり電場が物質にした仕事は結局熱として散逸してしまう。 したがって、ジュール熱がどれほど生じるかは、電磁場がどれくらい物質に仕事をしたかを計算すれば良い。 交流の場合は1周期でどれくらいやりとりがあるかを調べれば良い。

\begin{align} &\int_{-\pi/\omega_0}^{\pi/\omega_0} \mathbf{j}_{b}(t)\cdot\mathbf{E}(t) dt\\ &= \epsilon_{0}\omega_{0}\chi_{R}(\omega_0)|\mathbf{E}_{0}|^{2} \int_{-\pi/\omega_0}^{\pi/\omega_0} \cos(\omega_{0} t) \sin(\omega_{0} t - \chi_{\theta}(\omega_0)) dt\\ &= \frac{1}{2}\epsilon_{0}\omega_{0}\chi_{R}(\omega_0)|\mathbf{E}_{0}|^{2} \int_{-\pi/\omega_0}^{\pi/\omega_0} \left[\sin(2\omega_{0} t - \chi_{\theta}(\omega_0)) + \sin(\chi_{\theta}(\omega_0)) \right] dt\\ &= \pi\epsilon_{0}\chi_{R}(\omega_0)|\mathbf{E}_{0}|^{2} \sin[\chi_{\theta}(\omega_0)] \end{align}

則ち分極の位相遅れが \(0\) のときは損失 \(0\) でありジュール熱は発生しないが、 位相遅れがあるときはそれによる損失が生じることがわかる。

電気工学のいわゆる \(\tan\delta\) や誘電正接と呼ばれる量はこの位相のずれを表現したものでコンデンサのスペックシートにはたいてい書いてある。 GHz領域の高周波を扱う場合には気になってくる量である。

位相ずれが高周波ほど大きくなり、結果損失が大きくなることは直感的にあきらかだろう。 物質中の電流の速度が電場の速度に対して追随できくなってくれば位相の90度からのずれがどんどん大きくなるからである。 最終的に極限まで周波数が高くなると電荷は動かなくなるので実効電流が0になるだろうか。 そこまで高くなると違う応答 (光電効果とか？) を考えないといけないかもしれない。