Ising model の平均場近似-特に反強磁性の場合

概要

強磁性Ising modelのは大抵の統計力学の教科書に記述があり、また、Web上に資料も豊富であるが、反強磁性についてはそうでもないので、ここにまとめた。

Ising modelのハミルトニアン

\begin{equation} \mathcal{H}=J \sum_{\langle i,j \rangle} \sigma_i \sigma_j - h \sum_i \sigma_i \end{equation}

を考える。ただし、和 \(\langle i,j \rangle\) は、全ての、再近接格子についてだけとることとする。

\begin{equation} \sigma_i=\pm 1 \end{equation}

このハミルトニアンは、 \(J\) が負のとき強磁性体の、 \(J\) が正の時反強磁性体のモデルとなる。ここから平衡状態における磁荷 \(m\) を求め、\(h-T\) の相図を求めたい。

副格子

さて、ここでは反強磁性体について考えたいので、副格子という概念を導入する。副格子とは(中略)。以下立法格子など、素直に副格子を導入できる形だけを考える。 2つに分けた格子をそれぞれA、Bとする。

平均場近似の導入

\begin{align} \sigma_i^X&=\langle \sigma_i^X \rangle +(\sigma_i^X - \langle \sigma_i^X \rangle)\\ &=m^X + \delta m_i^X \end{align}

と書いて、平均値からのゆらぎ \(\delta m_i^X\) を微小量と考えて、その2乗を0とする近似である。ただし、

\begin{align} m^X&:=\langle \sigma_i^X \rangle \\ \delta m_i^X&:=\sigma_i^X - \langle \sigma_i^X \rangle \end{align}

と定義する。

平均場近似したハミルトニアン \(\mathcal{H}_{MF}\) は、

\begin{align} \mathcal{H}&=J \sum_{\langle A,B \rangle} \sigma_i^A \sigma_j^B - h \sum_i^N (\sigma_i^A+ \sigma_i^B)\\ &=J \sum_{\langle A,B \rangle}(m^A + \delta m_i^A)(m^B + \delta m_j^B) -h \left[\sum_{i=1}^{N/2} (m^A + \delta m_i^A) + \sum_{i=1}^{N/2} (m^B + \delta m_i^B)\right]\\ &=\left({\frac{\beta Jz}{2}m^A m^B N}\right) +(Jzm^A-h)\sum_{i=1}^{N/2} \sigma_i^B +(Jzm^B-h)\sum_{i=1}^{N/2}\sigma_i^A +O(\delta m_i^A \delta m_i^B) \end{align}

分配関数の計算

\begin{align} Z_{MF}&=\sum_{\{\sigma_{i}=\pm 1\}} e^{-\beta \mathcal{H}_{MF}}\\ &=\sum_{\{\sigma^{A}_{i}=\pm 1\}}\sum_{\{\sigma^{B}_{i}=\pm 1\}} \exp\left({\frac{\beta Jz}{2}m^A m^B N}\right)\\\nonumber &\quad\times\exp\left[{-\beta (Jzm^A-h)\sum_{i=1}^{N/2} \sigma_i^B}\right] \exp\left[{-\beta (Jzm^B-h)\sum_{i=1}^{N/2}\sigma_i^A}\right]\\ &=e^{\beta \frac{Jz}{2}m^A m^B N} \left\{2\cosh \left[-\beta (Jzm^A-h) \right] \right\}^{N/2} \left\{2\cosh \left[-\beta (Jzm^B-h) \right] \right\}^{N/2} \end{align}

なお、当然のことながら、\(A=B\) のときは、よく知られた、普通の Ising model 平均場近似の分配関数と一致する。

平均磁荷の計算

ここでは2通りのやり方で導いてみる。

自由エネルギー最小

分配関数 \(Z_{MF}\) からヘルムホルツの自由エネルギー \(F\) を計算できる。そこから\(F\) の最小を与える磁荷 \(m\) を求めればよい。

\begin{align} F&=-{\frac {1}{\beta }}\ln Z_{MF}\\ &=-\frac{Jz}{2}N m^A m^B - \frac{N}{2\beta} \ln(2\cosh[-\beta(Jzm^A-h)]) - \frac{N}{2\beta} \ln(2\cosh[-\beta(Jzm^B-h)]) \end{align}

これを\(m^A\) で微分すると

\begin{align} &\frac{\partial F}{\partial m^A}\\ =&-\frac{Jz}{2} m^B N - \frac{N}{2\beta} \frac{1}{2\cosh[-\beta(Jzm^A-h)]} \frac{\partial (2\cosh[-\beta(Jzm^A-h)])}{\partial m^A}\\ =& -\frac{Jz}{2}N m^B - \frac{N}{2\beta} \frac{1}{2\cosh[-\beta(Jzm^A-h)]} 2\beta Jz\sinh[-\beta(Jzm^A-h)]\\ =& -\frac{Jz}{2}N m^B - \frac{Jz}{2}N \tanh[-\beta(Jzm^A-h)] \end{align}

平衡状態では

\begin{align} \frac{\partial F}{\partial m^A}=0 \end{align}

であるから

\begin{align} -\frac{Jz}{2} m^B N - \frac{Jz}{2}N \tanh[-\beta(Jzm^A-h)]&=0\\ \tanh[\beta(Jzm^A-h)]&=m^B \end{align}

同様にして

\begin{align} \frac{\partial F}{\partial m^B} &=-\frac{Jz}{2} m^A N - \frac{Jz}{2}N \tanh[-\beta(Jzm^B-h)]=0 \end{align}

より

\begin{align} \tanh[\beta(Jzm^B-h)]&=m^A \end{align}

ここで 各副格子 A, B の磁化は、平均的には逆向き、かつ、同じ大きさを保つと仮定すると \(m^A=-m^B\) と置けるので単純に

\begin{align} \tanh[\beta(-Jzm^A-h)]&=m^A \end{align}

となり、この条件は強磁性体のIsingモデルで\(J\) を \(-J\) と置き換えたものと一致する。

自己無撞着方程式

磁荷 \(m\) の満たすべき自己無撞着方程式を求めそこから \(m\) を計算する。磁荷は

\begin{align} m&=-\frac{1}{N}\frac{\partial F}{\partial h} =\frac{1}{\beta Z}\frac{\partial Z}{\partial h} \end{align}

で与えられるので、ここに\(m\) を含む \(Z\) の表式を代入すれば自己無撞着方程式が得られる。代入して計算すると、

\begin{align} m&=\frac{Jz}{2}m^A m^B - \frac{1}{2}\tanh[-\beta(Jzm^A-h)] -\frac{1}{2}\tanh[-\beta(Jzm^B-h)] \end{align}

あれ、得られない。\(m^A\) と \(m^B\) それぞれについての自己無撞着方程式か、 \(m=m^A+m^B, \mu=m^A-m^B\) それぞれについての自己無撞着方程式を得ないとだめっぽい。しかし\(\mu\) と共役な場ってなんだろう。

相図

参考資料

豊田工業神谷氏統計力学（2012年５学期開講）講義ノート宿題等 : 書き始めてから見つけた。かなり丁寧。
- Chap8 (pdf) : 8-2が反強磁性体

更新履歴

2012年くらいに書き始める。
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